Scale Space Pyramid

scale invarient : correspondences often requires their comparison where they are seen at different scale

DoG : Different of Gaussian

Integral image can be used to up-scale at constant cost as seen in the right side of picture below.

ref : cornell, surf paper

Advertisements

Convolution basic example

Definition

y(t) = h(t)*x(t) = \int_{-\inf}^{\inf} x(\tau)h(t-\tau)d\tau = \int_{-\inf}^{\inf} h(\tau)x(t-\tau)d\tau = x(t)*h(t)

Discreate form

y(n) = \sum_{m=-\inf}^{\inf}x(n-m)h(m) = \sum_{m=-\inf}^{\inf}h(n-m)x(m)

Properties
1. h(t)*x(t) = x(t)*h(t)
2. h*(g*x) = (h*g)*x

In image processing : two dimensions convolution
h is called convolution kernel or mask

y(m, n) = \sum_{i=-k}^{k}\sum_{j=-k}^{k}x(m+i, n+j)h(i,j)

Sliding kernel throughout the image. If image is like in kernel, we will have peak value of y(m, n). –> roughly use to detect same image ??
The pictures below is a good visualization from Wiki.

ref : hmc

simpson rules อินทิกรัล จำกัดเขต ของกำลังสอง สมบูรณ์

การอินทิเกรท ก็คือ การหา พื้นที่ใต้กราฟ ซึ่งคิดว่า เคยทำกันมาแล้ว

ซึ่ง คุณ มณฑล สุกใส อธิบาย พร้อม พิสูจน์ ได้ดีมากๆ ที่เวป thaifoodscience ซึ่งคำอธิบายในรูปที่ว่า ” ถ้าคิดไม่ออก ก็ทำเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูซะเลย ”  ทำให้ระลึกชาติ ได้ดีทีเดียว

ส่วนบทพิสูจน์แท้จริงแล้วเป็นการหาพื้นที่ โดยใช้ f(x) = Ax^2 + Bx + C เป็นพาราโบลา
และการใช้จุดสามจุด แทนลงไปในสมการ พาราโบลา (x - d , y0) , (x , y1),  (x + d , y2) และจับสองสมการลบกัน เราจะได้สมการด้านบนเบยแจ้ ( ถ้า งง ดู พิสูจน์ ฉบับเต็ม ที่นี่ )

ถ้าจะว่ากันแค่ทฤษฎี กฎ Simpson ว่ากันตามด้านล่างเลยน้ะจ้ะ

Simpson integral rule

รูปและสมการเอามาจาก initmath

\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{3}\left[y_{0} + 4 y_{1} + 2 y_{2} + 4 y_{3} + 2 y_{4} + .. + 4 y_{n-1} + y_{n} \right]

สังเกตว่า ตัวแรกกับตัวท้าย ค่าสัมประสิทธิ์เป็น 1
นอกนั้น 4 กับ 2 สลับกัน

ส่วนวิธีเลือกค่า \Delta x ขึ้นอยู่กับว่า เราจะซอยแบ่งกราฟเป็นกี่ท่อน
\Delta x = (b-a)/n
เมื่อ n คือ จำนวนชิ้นที่ต้องการซอยกราฟ

ส่วนจะเลือกค่า n เท่าไหร่นั้น ก็ดูจาก error ที่ยอมรับได้ ซึ่งหาได้โดยการ โดยการ diff f(x) ไป 4 ที
If |f^{4}(x)| <= M for all x in interval a <= x <= b,
and \Delta x = (b-a)/n then

Error <= M * \Delta x^4*(b-a)/180